คณิตศาสตร์กับการแก้ปัญหา
คณิตศาสตร์ เป็นศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการสร้างสรรค์สิ่งต่างๆ การแก้ปัญหา (Problem Solving) ทั้งในด้านชีวิตประจำวันและด้านอื่นๆ การใช้เหตุผลซึ่งต้องอาศัยคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานทั้งสิ้น
ในปัจจุบันปัญหาส่วนใหญ่ที่เกิดขึ้นในชีวิตประจำวัน มีวิธีการแก้ปัญหาโดยอาศัยหลักของเหตุและผล อาศัยรูปแบบความคิดทางคณิตศาสตร์มาประยุกต์ใช้ ซึ่งจำเป็นต้องมีข้อมูลในระดับหนึ่งมาช่วยในการตัดสินใจ หลักการของการแก้ปัญหาใดก็ตามก็คือ นำกฎเกณฑ์ต่างๆที่เป็นความรู้ เป็นทฤษฏีต่างๆ ซึ่งก็คือกฎเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์นั่นเองมาใช้ประกอบกับข้อมูลที่มีอยู่ในระดับหนึ่ง คำตอบของปัญหาที่ต้องการ อย่างไรก็ตาม การแก้ปัญหานี้เป็นกลไกที่เกิดขึ้นในสมองของแต่ละคน แม้ว่าคำตอบที่ได้จะเหมือนกัน แต่ในด้านของวิธีการคิดของแต่และบุคคลซึ่งอาศัยพื้นฐานความคิดทางคณิตศาสตร์ความมีเหตุผลอาจจะมีแตกต่างกันไปก็ได้ ซึ่งหากพิจารณาถึงองค์กร ทุกองค์กรมีวัตถุประสงค์ มีผู้บริหารที่จะบริหารองค์กรให้องค์กรบรรลุวัตถุประสงค์ ผู้บริหารองค์กรจึงต้องเกี่ยวข้องกับการตัดสินใจ แก้ปัญหา วางแผน และกำหนดนโยบาย ผู้บริหารต้องหาข้อมูล และใช้ประสบการณ์ในการดำเนินการ เพื่อตัดสินใจกำหนดทางเลือก ผู้บริหารขององค์กรจึงเป็นบุคคลที่มีบทบาทที่สำคัญในการนำองค์กรให้บรรลุวัตถุประสงค์ การตัดสินใจผิดพลาดอาจทำให้เกิดผลเสียหายได้ ดังนั้น การตัดสินปัญหาจึงต้องอาศัยหลักการและข้อมูล เพื่อเพิ่มความน่าเชื่อถือของทางเลือก และที่สำคัญคือ การลดการตัดสินใจที่ผิดพลาด ซึ่งวิธีการแก้ปัญหาเหล่านั้นก็ต้องนำคณิตศาสตร์มาเกี่ยวข้องด้วย เช่น การคำนวณหากำไรสูงสุด คำนวณต้นทุนการผลิตต่ำ และคำนวณว่าจะผลิตอย่างไรจึงจะขายสินค้าได้ดี เป็นต้น
ดังนั้นจะเห็นได้ว่า คณิตศาสตร์กับการแก้ปัญหา เป็นสิ่งที่ขาดกันไม่ได้เลย เพราะไม่ว่าปัญหาใดๆ ก็จะมีวิธีการทางคณิตศาสตร์ มาเกี่ยวข้องด้วยเสมอ ซึ่งดิฉันก็คิดว่ามันเป็นเช่นนั้นเช่นกัน
คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการสร้างสรรค์สิ่งต่าง ๆ การแก้ปัญหา (Problem Solving) ทั้งในด้านชีวิตประจำวันและด้านอื่นๆ การใช้เหตุผลซึ่งต้องอาศัยคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานทั้งสิ้น
คณิตศาสตร์มาจาคำว่า Mathematics ในภาษากรีก Math หมายถึงการเรียนรู้ (learning) ดังนั้น ทำอย่างจึงจะทำให้คนอยากเรียนรู้ แซมมัว พาเพ่ นักจิตวิทยาคนหนึ่งพยายามสร้างแนวความคิดนี้ และบอกว่าคณิตศาสตร์เป็นกลไกหนึ่งที่ทำให้เกิดความอยากเรียนรู้ จึงทำให้เขาคิดโปรแกรมคอมพิวเตอร์ขึ้นมาชนิดหนึ่ง ซึ่งก็คือ Logo นั่นเอง
ในสมัยโบราณชาวกรีก ชาวอียิปต์ สามารถประดิษฐ์ปฏิทินทางสุริยคติได้ สามารถบอกได้ว่าดวงอาทิตย์หมุนรอบโลกใช้เวลาเท่าไร จะเห็นว่าอารยะธรรมสิ่งประดิษฐ์และการแก้ปัญหาต่างๆ ในอดีตล้วนแต่อาศัยพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ทั้งสิ้น
ในปัจจุบันปัญหาส่วนใหญ่ที่เกิดขึ้นในชีวิตประจำวันมีวิธีการแก้ปัญหาโดยอาศัยหลักของเหตุและผล อาศัยรูปแบบ(model) ความคิดทาง คณิตศาสตร์มาประยุกต์ใช้ ซึ่งจำเป็นต้องมีข้อมูลในระดับหนึ่งมาช่วยในการตัดสินใจ หลักการของการแก้ปัญหาใดก็ตามก็คือ นำกฎเกณฑ์ต่าง ๆที่เป็น Fact เป็นความรู้ เป็นทฤษฏีต่าง ๆ ซึ่งก็คือกฎเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์นั่งเองมาใช้ประกอบกับข้อมูลที่มีอยู่ในระดับหนึ่ง infer ตำตอบของปัญหาที่ต้องการอย่างไรก็ตาม การแก้ปัญหานี้เป็นกลไกที่เกิดขึ้นในสมองของแต่ละคน แม้ว่าคำตอบที่ได้จะเหมือนกัน แต่ในด้านของวิธีการคิดของแต่และบุคคลซึ่งอาศัยพื้นฐานความคิดทางคณิตศาสตร์ความมีเหตุผลอาจจะมีแตกต่างกันไปก็ได้
การพัฒนาบุคคลในประเทศให้เป็นผู้ชำนาญเฉพาะด้านไม่ว่าด้านใดก็ตาม ผู้ที่มีความสามารถทางด้านคณิตศาสตร์จะเป็นผู้ที่ได้เปรียบเพราะจะสามารถ infer ความรอบรู้ ความสัมพันธ์ (relation) ของสิ่งต่างๆ ให้อยู่ในรูปแบบ (model) ทางคณิตศาสตร์ และนำรูปแบบนี้ไปใช้ในการแก้ปัญหาต่อไป
กลไกทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่งเรียกว่า Zerogism ซึ่งปรากฏว่าในสมองของคน มีกลไกลักษณะเช่นนี้อยู่ กล่าวคือเป็นกลไกของการ Infer ความรอบรู้ต่าง ๆให้เป็นรูปแบบทางคณิตศาสตร์ และส่วนนี้เองที่ใช้รากฐานทำให้คนมีความคิดในการแก้ปัญหา การประยุกต์ใช้ของ Zerogism ก็คือกฎเกณฑ์ที่เป็นกระบวนการถ่ายทอดความรู้ซึ่งเป็นหลักการทางคณิตศาสตร์นั่นเอง
โดยสรุปแล้ว การที่จะสร้างและพัฒนาคนให้เกิดประโยชน์ต่อประเทศชาติไม่ว่าในด้านใดก็ตามคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานที่สำคัญ
บทบาทของคณิตศาสตร์มี 2 ด้าน
ด้านแรก คือ คณิตศาสตร์มีบทบาทในฐานะทีเป็นบทบาทพื้นฐาน กล่าวคือ ทำให้ ทำให้คนทีมีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ สามารถเรียนรู้เรื่องรายต่าง ๆ ได้กว้างและลึกซึ้ง คณิตศาสตร์เป็นความรู้ที่สนับสนุนความนึกคิดที่เป็นวิทยาศาสตร์ นั้นคือเชื่อในเหตุผลของธรรมชาติผลต้องเกิดจากเหตุ
ด้านที่สอง คือ ด้านที่เกี่ยวข้องกับการพัฒนาทางเศรษฐกิจของประเทศทั้งในแง่การเรียนรู้และการนำไปประยุกต์ใช้ ซึ่งได้แก่ สถิติ operation research บัญชี การวิจัยตลาดวิศวกรรมและอุตสาหกรรม
ชีวิตประจำวันของทุกคนต้องนึกคิด และจินตนาการต่าง ๆ สิ่งที่สำคัญคือ ทุกคนต้องการกระทำในสิ่งที่ดีที่สุด ผู้ลงทุนการค้าก็หวังให้ได้กำไรสูงสุด ต้นทุนการผลิตต่ำ ขายสินค้าได้ดี การทำงานของทุกคนจึงต้องเผชิญกับปัญหา และหาทางแก้ปัญหาให้ดีที่สุด
ชีวิตตั้งแต่ตื่นจนกระทั่งถึงเวลานอนอีกครั้ง ทุกคนจะต้องตัดสินใจ หาทางเลือก เลือกทำในสิ่งที่ดี ที่ถูกต้อง เช่น เมื่อเดินทางมามหาวิทยาลัย บางคนมีทางเลือกได้หลายทาง เช่น จะขึ้นรถเมล์สายใดดี และจะลงต่อรถที่ใด เพื่อว่าจะได้เดินทางได้เร็วและสะดวก เมื่อมาที่โรงอาหาร ก็มีอาหารให้เลือกมากมาย จะเลือกทานอะไรดี เงื่อนไขของการตัดสินใจจึงมีมากมาย จะเลือกตามราคา เลือกตามความอยาก เลือกเพราะอยากลอง จะเห็นว่า ทุกขณะสมองของเราได้คิดและแก้ปัญหาอยู่ตลอดเวลา เรามีการตัดสินใจและกระทำ เมื่อกระทำแล้วก็มีการประเมินผลหรือเรียนรู้ไว้เป็นประสบการณ์
หากพิจารณาถึงองค์กร ทุกองค์กรมีวัตถุประสงค์ มีผู้บริหารที่จะบริหารองค์กรให้องค์กรบรรลุวัตถุประสงค์ ผู้บริหารองค์กรจึงต้องเกี่ยวข้องกับการตัดสินใจ แก้ปัญหา วางแผน และกำหนดนโยบาย ผู้บริหารต้องหาข้อมูล และใช้ประสบการณ์ในการดำเนินการ เพื่อตัดสินใจกำหนดทางเลือก ผู้บริหารขององค์กรจึงเป็นบุคคลที่มีบทบาทที่สำคัญในการนำองค์กรให้บรรลุวัตถุประสงค์ การตัดสินใจผิดพลาดอาจทำให้เกิดผลเสียหายได้ ดังนั้น การตัดสินปัญหาจึงต้องอาศัยหลักการและข้อมูล เพื่อเพิ่มความน่าเชื่อถือของทางเลือก และที่สำคัญคือ การลดการตัดสินใจที่ผิดพลาด
ในระดับประเทศยิ่งต้องมีการตัดสินปัญหา และดำเนินการต่าง ๆ เพื่อผลประโยชน์ของประเทศ การตัดสินใจของคณะผู้บริหารประเทศ โดยเฉพาะผู้กำหนดมาตรการต่าง ๆ เพื่อเอื้ออำนวยประโยชน์สูงต่อส่วนรวม ดังจะ เห็นได้จากการตัดสินใจที่ผิดพลาดจากการต่อสู้ประกันค่าเงินบาท ทำให้ประเทศชาติต้องสูญเสียเงินตราและทุนสำรองของประเทศไปมากมายมหาศาล และส่งผลทำให้เกิดวิกฤตเศรษฐกิจที่มีผลอย่างต่อเนื่อง การดำเนินการต่าง ๆ จึงขึ้นอยู่กับการตัดสินใจแก้ปัญหา และหาทางเอาชนะปัญหา และความซับซ้อน
ลองนึกดูว่าเมื่อเราเล่นเกมหรือหมากรุกกับเพื่อน เราจะต้องคิดและแก้ปัญหาสถานการณ์ และสถานการณ์แต่ละครั้งอาจแปรเปลี่ยนไป การแก้ปัญหาเหมือนการเล่นเกม ที่ทุกคนหวังที่จะได้ชัยชนะ การเลือกทางเดินแต่ละครั้งก็เพื่อที่จะหาทางที่ดีที่สุด แต่สถานการณ์ก็เปลี่ยนแปลงไป การปรับแต่งและแก้ปัญหาจึงต้องขึ้นกับสถานการณ์ การดำเนินธุรกิจก็เหมือนกับการเล่นเกม ที่ต้องแก้ปัญหาตลอดเวลา และหาทางที่จะให้ได้ผลลัพธ์ดีที่สุด ตามวัตถุประสงค์ที่วางไว้
เพื่อให้การแก้ปัญหาเกิดขึ้นอย่างเป็นระบบ เรามาดูลักษณะของปัญหาที่มีอยู่ในโลก ปัญหาที่มีอยู่ในโลกพอแยกออกเป็นปัญหาแบบมีโครงสร้าง ปัญหาแบบไม่มีโครงสร้าง ปัญหาแบบกึ่งโครงสร้าง
ปัญหาแบบมีโครงสร้าง
ปัญหาในโลกนี้เป็นปัญหาที่เกิดจากการผสมผสานของตัวแปรจำนวนมาก มีทั้งตัวแปรที่มีรูปธรรมและไม่มีรูปธรรม ตัวแปรที่มีรูปธรรมได้แก่ วัตถุ เงิน สถานที่ เป็นต้น สำหรับตัวแบบที่ไม่เป็นรูปธรรม เช่น ความรู้สึก อารมณ์ และสิ่งที่เป็นความคิด ความเข้าใจ ประสบการณ์ ซึ่งยากที่จะเขียนออกเป็นสูตรหรือสมการ สิ่งที่สำคัญคือ ปัญหาส่วนใหญ่เป็นปัญหาที่มีความซับซ้อน การแบ่งแยกปัญหาออกเป็นปัญหาที่มีโครงสร้าง และไม่มีโครงสร้าง จึงขึ้นอยู่กับตำแหน่งที่เกี่ยวโยงกับปัญหา นั่นเอง
ปัญหาที่มีโครงสร้าง เป็นปัญหาที่สามารถผูกตัวปัญหาเป็นโมเดลได้ชัดเจน สามารถแทนสูตร สมการ หรือสร้างระบบการแทนปัญหา หาวิธีการแก้ปัญหาเพื่อให้ได้คำตอบ ปัญหาที่มีโครงสร้างเป็นปัญหาที่มีการศึกษา และสร้างรูปแบบทางคณิตศาสตร์ได้ การศึกษาทางคณิตศาสตร์สร้างหลักการพื้นฐานต่าง ๆ มากมายที่จะนำมาใช้ในการแก้ปัญหา ซึ่งศาสตร์ของการแก้ปัญหาและวิธีการก็มีผู้พัฒนาคิดค้นขึ้นมากมาย และยังคงพัฒนาต่อไป เช่น การหาผลลัพธ์ที่ดีที่สุด การหาคำตอบที่เป็นไปได้ และการสร้างทางเลือกที่ดี วิธีการแก้ปัญหาจึงเป็นการใช้วิธีการเชิงคำนวณอยู่มาก
อย่างไรก็ดี การมีคอมพิวเตอร์ทำให้การคำนวณค่าต่าง ๆ คำนวณได้รวดเร็ว ปัญหาต่าง ๆ ที่แต่เดิมยากที่จะหาคำตอบได้ ปัจจุบันก็ใช้เครื่องคอมพิวเตอร์คำนวณหาคำตอบ ทำให้การประยุกต์ใช้ทำได้มากมาย เช่น การตรวจสอบบางอย่างทางการแพทย์ การประมวลผลงาน ก็เป็นสิ่งที่เกิดขึ้นจากการคำนวณ ปัญหาแบบมีโครงสร้างเป็นปัญหาที่มีเพียงส่วนน้อยนิดเมื่อเทียบกับปัญหาทั้งหมดที่เผชิญอยู่ในชีวิต แต่ปัญหาที่มีโครงสร้างก็สร้างความมั่นใจให้กับผู้ดำเนินการและตัดสินใจ เพราะมีความแน่นอนในหลักการทางวิชาการ ทำให้ได้คำตอบที่ถูกต้อง และให้ผลดีกับผู้ตัดสินใจ การเรียนรู้การแก้ปัญหาแบบมีโครงสร้างจึงต้องอาศัยหลักและทฤษฎีต่าง ๆ มากมาย
ลองนึกถึงโจทย์ปัญหาต่าง ๆ เช่น ถ้าจะเลือกของสองสิ่งที่ราคาต่างกัน จะเลือกอะไรดี โดยตัดความชอบออก เราก็จะต้องหาทางตัดสินปัญหา ถ้าเป็นปัญหาแบบโครงสร้างเราก็คงดูที่ราคาและประโยชน์ใช้สอย ตลอดจนคุณภาพของสินค้านั้น ถ้าประโยชน์ใช้สอยสามารถบอกเป็นตัวเลขได้ คุณภาพก็บอกถึงอายุการใช้งานได้ การตัดสินใจเลือกคงไม่ยาก เพราะเป็นปัญหาแบบโครงสร้าง แต่เราจะพบว่ามีเงื่อนไขความพอใจ หรือเงื่อนไขบางอย่างไม่สามารถประเมินเป็นตัวเลขได้ จึงยากที่จะสร้างโมเดลทางคณิตศาสตร์เพื่อคิดคำนวณหาผลลัพธ์ได้
ตัวอย่างของปัญหาโครงสร้าง เช่น หากเราเป็นผู้ผลิตสินค้าชนิดหนึ่ง โดยตั้งราคาขายไว้ที่ 100 บาทต่อหน่วย การลงทุนผลิตสินค้าชนิดนี้ประกอบด้วยต้นทุนคงที่ เช่น ค่าแม่พิมพ์สำหรับฉีดพลาสติก ค่าดำเนินการออกแบบผลิตภัณฑ์ ต้นทุนคงที่ใช้ทั้งหมด 200,000 บาท การผลิตยังต้องใช้วัตถุดิบซึ่งเป็นต้นทุนผันตามการผลิต โดยมีต้นทุนแปรผันส่วนนี้เท่ากับ 20 บาทต่อหน่วย
คำถามมีอยู่ว่า จะต้องผลิตและขายให้ได้เท่าไรจึงจะคุ้มทุน โดยสมมุติว่า จุดต่ำสุดที่ผลิตและขายได้ทั้งหมด
ปัญหานี้เป็นปัญหาการหาจุดคุ้มทุนที่รู้จักกันดี ที่สามารถสร้างโมเดลทางคณิตศาสตร์ได้ง่าย โดยให้
P เป็นราคาขายต่อหน่วย
R เป็นรายรับจากการขาย
N เป็นจำนวนที่ผลิต
ดังนั้น R = PN
และ F เป็นต้นทุนคงที่
และ V เป็นต้นทุนผันแปรต่อหน่วย
TC คือต้นทุนรวม
ดังนั้น TC =VN + F
การที่จะต้องให้ได้เท่าทุน R = TC
หรือ PN = VN + F
เราสามารถคำนวณหาคำ N ได้
100 N=20N + 200000
80 N=200,000
N=2,500 หน่วย
เมื่อนำปัญหานี้มาเขียนกราฟ โดย แกน X แทนจำนวนหน่วย แกน Y แทนจำนวนเงิน ลักษณะของกราฟแสดงให้เห็นจุดคุ้มทุน หรือจุดที่ได้กำไรเป็น 0
การเขียนกราฟทำให้ง่ายต่อการตัดสินใจ และทำให้ทราบว่า ถ้าผลิตและขายได้จำนวนเท่าไร จึงจะได้กำไรหรือขาดทุน ทำให้การตัดสินใจทำได้ง่ายขึ้น
