สามเหลี่ยมปาสกาล

ผู้ค้นพบสามเหลี่ยมปาสคาล

         ชุดของจำนวนทีในปัจจุบันเราเรียกว่า “สามเหลี่ยมปาสกาล” ได้รับการความสนใจในการศึกษาจากคณิตศาสตร์ทั้งในอินเดีย กรีก จีน ก่อนหน้านั้นนานแล้ว แต่ทว่า แบลส ปาสกาล (ค.ศ. 1623 – 1662) เป็นบุคคลแรกที่ค้นพบและแสดงให้เห็นความสำคัญ และแบบรูปทั้งหมดที่บรรจุอยู่ในสามเหลี่ยมปาสกาล นี่เองเป็นสาเหตุที่ทำให้เราเรียกมันว่า “สามเหลี่ยมปาสกาล” เพื่อให้เกียรติแก่ปาสกาลซึ่งเป็นค้นพบแบบรูปของมัน   แต่เราก็ยังพบว่าในบางตำรา เรียกมันว่า “สามเหลี่ยมของชาวจีน” (Chinese’s Triangle) ด้วย เพื่อให้เกียรติแก่ชาวจีนโบราณที่ได้ค้นพบ และพัฒนาขึ้นในระยะแรก ชนชาติใดบ้างที่สนใจศึกษาเรื่องนี้ 

ชนชาติที่ให้การศึกษาเรื่องนี้ก่อนที่ปาสกาลจะค้นพบความสวยงามทั้งหมดของสามเหลี่ยมนี้ในงานของเขาที่ชื่อ Traité du triangle arithmétique (1653) เริ่มเดิมทีเป็นแนวคิดเรื่อง จำนวนเชิงวิธีจัดหมู่ (Combination Numbers) และจำนวนทวินาม (Binomial Numbers) และการศึกษาเรื่อง “จำนวนเชิงรูปภาพ” (Figurate numbers) ของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกด้วย

สามเหลี่ยมปาสคาล คือ อะไร? 

   สามเหลี่ยมปาสคาล มีต้นกำเนิดมาจากความช่างสังเกตของนักคณิตศาสตร์ ที่พบว่า เมื่อเรานำสัมประสิทธิ์
ที่ได้จากการกระจายทวินาม (a b)ⁿ มาเขียนเรียงกันเป็นรูปสามเหลี่ยมแล้ว ตัวเลขที่อยู่ข้างล่างของ
รูปสามเหลี่ยมจะมีค่าเท่ากับตัวเลขที่อยู่ข้างบน 2 ตัวที่อยู่เยื้องๆ กับตัวมันบวกกัน

อ้างอิง http://www.trueplookpanya.com/new/cms_detail/knowledge/24945/วันที่22/08/56

ปาสกาลเป็นใคร

แบลส  ปาสกาล (Blaise Pascal, ค.ศ. 1623 – 1662) เกิดที่เมือง Chermont มลฑล Auverge ประเทศฝรั่งเศส เมื่อวันที่ 16 มิถุนายน ค.ศ. 1623 บิดาเป็นนักคณิตศาสตร์ และผู้พิพากษา ปาสกาลได้แสดงความเป็นอัจฉริยะทางคณิตศาสตร์ตั้งแต่เด็ก เมื่ออายุ 12 ปี ท่านได้พัฒนาเรขาคณิตเบื้องต้นด้วยตนเอง เมื่ออายุ 14 ปี ท่าเข้าร่วมประชุมกับนักคณิตศาสตร์แห่งฝรั่งเศส ซึ่งต่อมาในปี 1666 นักคณิตศาสตร์กลุ่มนี้ได้ร่วมกันสถาปนา French Academic ขึ้น เมื่ออายุ 16 ปี ท่านได้พัฒนาทฤษฎีบทที่สำคัญในวิชาเรขาคณิตโปรเจกทีฟ และเมื่ออายุได้ 19 ปี ท่านได้พัฒนาเครื่องคิดเลข

เป็นที่น่าเสียดายอย่างยิ่งที่เมื่อท่านประสบอุบัติเหตุที่ Neuilly ท่านได้เปลี่ยนความสนใจจากคณิตศาสตร์ไปเป็นศาสนาและปรัชญา ไม่เช่นนั้นท่านคงจะเป็นนักคณิตศาสตร์ที่รุ่งโรจน์ที่สุดคนหนึ่งของโลก

ผลงานที่สำคัญ

น่าเสียดายอย่างยิ่งที่เมื่อท่านประสบอุบัติเหตุที่ Neuilly ท่านได้เปลี่ยนความสนใจจากคณิตศาสตร์ไปเป็นศาสนาและปรัชญา และเสียชีวิตเมื่ออายุได้เพียง 39 ปี ไม่เช่นนั้นท่านคงจะเป็นนักคณิตศาสตร์ที่รุ่งโรจน์ที่สุดคนหนึ่งของโลกทีเดียว

ผลงานที่สำคัญของท่านได้แก่

1.             Essay pour les conique (1640) ซึ่งสรุปทฤษฎีบทเกี่ยวกับเรขาคณิตโปรเจคทีฟที่ท่านได้พัฒนามาก่อนแล้วเมื่ออายุได้ 16 ปี

2.             Traité du triangle arithmétique (1653) ซึ่งก็คือเรื่องสามเหลี่ยมของปาสกาล หรือสามเหลี่ยมของชาวจีนที่จะกล่าวถึงในบทความนี้

3.             ริเริ่มพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นร่วมกับแฟร์มาต์ ในปี ค.ศ.1654 โดยใช้วิธีการที่ต่างกัน

4.             เรขาคณิตของเส้นโค้ง Cycloid (1658)

 

สร้างสามเหลี่ยมปาสกาลได้อย่างไร???

วิธีการสร้างที่พื้นฐานและอธิบายได้ง่ายที่สุด คือ ที่ด้านบนสุดของสามเหลี่ยมปาสกาลให้เป็น 1 ซึ่งเราจะให้เป็นแถวที่ 0 แถวที่ 1 คือ แถวที่มีเลข 1 และ 1 สร้างได้ผลรวมของจำนวนที่อยู่เหนือมันทางซ้ายและทางขวา 2 จำนวน ซึ่งในกรณีนี้คือ 1 และ 0 (ให้ถือว่าจำนวนที่อยู่นอกสามเหลี่ยมเป็น 0 ทั้งสิ้น) จากนั้นก็ดำเนินการในทำนองเดียวกันนี้ในการสร้างจำนวนในอื่นๆ (ดูภาพประกอบ)

• แถวที่ 2 คือ 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2 และ 1 + 0 = 1
• แถวที่ 3 คือ 0 + 1 = 1, 1 + 2 = 3, 2 + 1 = 3, 1 + 0 = 1
• …

และสามารถสร้างด้วยวิธีการเดียวกันนี้ในแถวต่อๆ ไป

 

มีอะไรในสามเหลี่ยมปาสกาล???

แม้ว่าจะมีนักคณิตศาสาตร์ชาติต่างๆ ได้ศึกษาเซตของจำนวนชุดนี้มาก่อนหน้าปาสกาลแล้วก็ตาม แต่ทว่า แต่ละท่านก็ศึกษาเพียงบางส่วนเท่านั้น ปาสกาลเป็นคนแรกที่ศึกษาจำนวนชุดนี้ได้ครบถ้วน ซึ่งเราจะมาเรียนรู้กันว่ามีอะไรบ้าง (คลิกอ่านแต่ละหัวข้อนะครับ)

1.    ผลรวมของจำนวนในแต่ละแถว

2.    จำนวนเฉพาะ

3.    แบบรูปไม้ตีฮ็อกกี้

4.    มหัศจรรย์ของ 11

5.    ลำดับฟีโบนักชี

6.    จำนวนเชิงรูปหลายเหลี่ยม||จำนวนเชิงสามเหลี่ยม||จำนวนเชิงสี่เหลี่ยม||

7.    จำนวนจุดบนวงกลม

8.    ความเชื่อมโยงกับสาเหลี่ยม Sierpinski

9.    วิธีจัดหมู่

10.                       ทฤษฎีบททวินาม

อ้างอิงhttp://coolaun.com/math/pascal_tri/ 22/08/56

จำนวนเฉพาะ

จํานวนเฉพาะ

"จำนวนเฉพาะ" หรือ ไพรม์ นัมเบอร์ (Prime number) คือ จำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารที่เป็นบวกอยู่ 2 ตัว คือ 1 กับตัวมันเอง เช่น 2, 3, 5, 7, 11, 13 และ 17 เป็นต้น และสำหรับเลข 1 นั้น ให้ตัดทิ้ง เพราะ 1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

จํานวนเฉพาะ 1-100 มีทั้งหมด 25 ตัว ดังนี้

          2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 และ 97

จํานวนเฉพาะ 1-200 มีทั้งหมด 46 ตัว ดังนี้
          2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197 และ 199
จํานวนเฉพาะ 1-1000  มีทั้งหมด 176 ตัว ดังนี้
          2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 221, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 403, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 481, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 533, 541, 547, 559, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 611, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673,  677, 683, 689, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 767, 769, 773, 787, 793, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 871, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 923, 929, 937, 941, 947, 949, 953, 967, 971, 977, 983, 991 และ 997

          สำหรับวิธีตรวจสอบความเป็นจำนวนเฉพาะ สามารถทำได้ ดังนี้          สมมติเขาถามว่า 331 เป็นจำนวนเฉพาะรึเปล่า ทุกคนก็คงจะเริ่มด้วยการประมาณค่ารากที่สองของ 331 ซึ่งได้ประมาณเกือบ ๆ 18 จากนั้นก็เริ่มเอาจำนวนเฉพาะไปหาร 331 ดู โดยเริ่มจาก 2 3 5 7 ไปเรื่อย ๆ แต่พอเราลองไปจนถึง 17 แล้วยังไม่มีจำนวนเฉพาะสักตัวหาร 331 ลงตัว เราก็หยุดและสรุปว่า 331 เป็นจำนวนเฉพาะ โดยไม่ต้องลองเอาจำนวนเฉพาะอื่นๆ ไปหาร 331 อีกต่อไป  มีวิธีคิดดังนี้คือ ให้ n เป็นจำนวนนับใด ๆ (n เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ก็เป็นจำนวนประกอบเพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง)

              - สมมติว่า n เป็นจำนวนประกอบ

              - จำนวนประกอบคือจำนวนที่มีจำนวนอื่นนอกจาก 1 และตัวมันเองที่หารมันลงตัว

              - ดังนั้นมีจำนวนนับ a โดย a หาร n ลงตัว และ 1 < a < n

              - นั่นคือจะมีจำนวนนับ b ที่ 1 < b < n และ n = a * b

              - โดยไม่เสียนัยสำคัญกำหนดให้ a <= b (ถ้า a > b ก็ให้สลับค่า a กับ b)

              - สังเกตว่า a = รากที่สองของ (a^2) <= รากที่สองของ (a*b) = รากที่สองของ n
          

http://education.kapook.com/view63401.html  05/09/2556

คณิตศาสตร์กับปรากฎการณ์ธรรมชาติ

คณิตศาสตร์กับปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ

ธรรมชาติสร้างสรรค์สิ่งต่าง ๆ ได้ลงตัวอย่างพอเหมาะ ความสมดุลทางธรรมชาติก่อให้เกิดสิ่งต่าง ๆ ทั้งสิ่งที่มีชีวิต และสิ่งที่ไม่มีชีวิต

หากเริ่มต้นจากชีวิตร่างกายของมนุษย์ ร่างกายของเราประกอบด้วยอวัยวะต่าง ๆ ที่ทำงานร่วมกัน มี ปอด หัวใจ ตับ ไต ลำไส้ เส้นเลือด ผิวหนัง กลไกการทำงานของร่างกายเป็นที่อัศจรรย์ใจยิ่งนัก เมื่อพิจารณาจากการศึกษาให้ลึกซึ้งพบว่า ทุกอวัยวะของร่างกายประกอบด้วยเนื้อเยื้อ เนื้อเยื่อเหล่านี้เป็นส่วนประกอบรวมกันเป็นชิ้นอวัยวะ หากพิจารณาพินิจพิเคราะห์เนื้อเยื่อจะปรากฏหน่วยเล็ก ๆ ที่เรียกว่า เซล เซลจึงเป็นส่วนประกอบของมนุษย์ที่เล็ก ๆ สิ่งมีชีวิตอื่นก็เช่นเดียวกันคือประกอบด้วยเซลและผลิตภัณฑ์ประกอบอยู่ในเซล

ภายในเซลประกอบด้วยโมเลกุลของสสาร โมเลกุลเหล่านี้จับตัวรวมกันเป็นกลุ่มก้อน และมีอะตอมของสารเป็นส่วนประกอบ ภายในอะตอมมีนิวเคลียส และรอบ ๆ นิวเคลียสมีอิเล็กตรอนวิ่งโคจรรอบ ๆ ส่วนของนิวเคลียสประกอบด้วยโปรตอนและนิวตรอน; การศึกษาของเรากำลังศึกษาในรายละเอียดระดับโมเลกุลมากขึ้น เพื่อให้รู้ถึงความสลับซับซ้อนของร่างกายมนุษย์ที่มีอยู่ การศึกษาของมนุษย์จึงเรียนรู้ปรากฏการณ์ธรรมชาติต่าง ๆ เพื่อเปิดเผยความเร้นลับ

ขณะเดียวกัน ชีวิตความเป็นอยู่ของผู้คนก็ต้องอาศัยสิ่งแวดล้อม อาศัยแสงแดด อากาศ น้ำ สิ่งที่ อยู่รอบ ๆตัว ที่เรียกว่า สิ่งแวดล้อม การศึกษาทางคณิตศาสตร์จึงเป็นรากฐานของชีวิตตั้งแต่ระดับอะตอมลงมา ถึงสิ่งแวดล้อมทางธรรมชาติต่าง ๆ มากมาย หากเริ่มจากชีวิตของมนุษย์ที่อาศัยอยู่บนพื้นดิน ความเกี่ยวข้องจึงเข้ามาสัมพันธ์กับดิน ฟ้า เวลา และดวงดาวต่างๆ สรรพสิ่งทุกสิ่งทุกอย่างเกี่ยวข้องกันเป็นธรรมชาติ

สิ่งมีชีวิตและสิ่งที่อยู่รอบ ๆ ตัวเรานี้อาศัยอยู่ในไบโอสเฟียส์ ซึ่งจัดได้ว่าเป็นส่วนหนึ่งของโลก โลกเป็นสมาชิกหนึ่งในระบบสุริยะจักรวาล ซึ่งประกอบด้วยดาวเคราะห์อีกหลายดวงซึ่งโคจรรอบดวงอาทิตย์ การโคจรมีกฎเกณฑ์ และใช้หลักการทางคณิตศาสตร์ที่อธิบายปรากฏการณ์ต่าง ๆ และ อิทธิพลของดวงจันทร์ ดวงอาทิตย์และดวงดาวอื่นๆ

การศึกษายังบอกได้ว่าดวงอาทิตย์เปรียบเทียบเป็นฝุ่นเล็ก ๆ อยู่ในกลุ่มดาวขนาดมากมาย ที่เรียกว่า ทางช้างเผือก (milky way) ซึ่งกลุ่มดาวในระบบทางช้างเผือกนี้เรียกว่า กาแล็กซี่ และมีชื่อกาแลกซี่ที่ดวงอาทิตย์อยู่ด้วยว่า “กาแลกซี่ของเรา – our galaxy” กาแลกซี่ทางช้างเผือกก็เป็นหนึ่งในบรรดาที่มีกาแลกซี่อีกมากมาย และรวมเป็นกลุ่มขนาดใหญ่ที่เรียกว่า galactic cluster

การศึกษาของเราจึงต้องหาวิธีการอธิบายสิ่งต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นเองในธรรมชาติ ตั้งแต่เป็นสิ่งที่เล็กที่สุดในระดับอิเล็กตรอน หรือสิ่งที่ใหญ่ในระดับกาแลกซี่ การศึกษาของเราอาศัยกลไกการเรียนรู้ที่สมอง ซึ่งยากที่จะอธิบายได้ว่าโครงสร้างความรู้ที่เราศึกษาเป็นอย่างไร แต่การศึกษาเราใช้หลักการเชื่อมโยง เหมือนที่เราใช้ในเครือข่ายเวิล์ดไวด์ เวบนี้ การศึกษาทางคณิตศาสตร์เพื่อใช้อธิบายปรากฏการณ์ และความจริงทางธรรมชาติจึงมีมากมาย คณิตศาสตร์จึงเป็นหน่วยเสริมที่ใช้อธิบายชีวิตต่าง ๆ ทางด้านวิทยาศาสตร์ ซึ่งประกอบด้วยสาขาต่าง ๆ มากมาย เช่น ฟิสิกส์ เคมี ชีววิทยา ดาราศาสตร์ วิศวกรรม เทคโนโลยีต่าง ๆ หรือแม้แต่กลไกการทำงานของคอมพิวเตอร์ที่ใช้ระบบตัวเลขฐานสองก็ใช้หลัก การคิดคำนวณและตรรกศาสตร์พื้นฐาน

ฟิโบนักชีกับธรรมชาติ

 จากธรรมชาติที่สร้างตัวเองหรือขยายขนาด ขยายการเจริญเติบโตรวมถึงการแพร่พันธุ์ตามธรรมชาติด้วยตัวเลขฟิโบนักชี การเจริญเติบโตของต้นไม้ หรือของสิ่งต่าง ๆ หลายอย่างจึงเป็นไปตามธรรมชาติ

นอกจากต้นไม้แล้ว ยังมีดอกไม้ ดังตัวอย่างเช่น การจัดวางเมล็ดของดอกทานตะวัน หรือดอกเดซี่ ซึ่งมีการจัดวางเมล็ดเป็นแบบวนก้นหอย นอกจากดอกทานตะวันแล้ว ก็ยังมีโคนของสน

 ตัวเลขอนุกรมฟิโบนักชีปรากฎให้เห็นอยู่มาก เช่น ตาสับปะรด และถ้ามองที่ดอกของใบไม้ของต้นไม้บางชนิดจะพบว่า มีการวน ซึ่งการวนมีลักษณะเป็นก้นหอย

อันดับฟิโบนักชีกับปรากฎการณ์ธรรมชาติ

นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีผู้หนึ่งชื่อ ลิโอนาร์โด พิซาโน ฟิโบนักชี (Leonardo Pisano Fibonacci) เป็นนักคณิตศาสตร์ที่ได้วางกฎลำดับอนุกรมตัวเลขชุดหนึ่ง ซึ่งต่อมาได้รับชื่อว่า อนุกรมฟิโบนักชี

พิโบนักชี เกิดเมื่อประมาณปี คศ. 1170 ที่เมืองนิซา ประเทศอิตาลี เขาได้รับการศึกษาที่ทางตอนเหนือของแอฟริกา ซึ่งเป็นช่วงที่เขาติดตามบิดาซึ่งเป็นพ่อค้าเดินทางไปทำการค้า

ฟิโบนักชีสนใจในวิชาคณิตศาสตร์ เขาได้ทำการเขียนหนังสือและพิมพ์หนังสือคณิตศาสตร์ ซึ่งมีเรื่องราวเกี่ยวกับเรขาคณิต ซึ่งมีรากฐานมาจากยูคลิด
ในปี คศ. 1202 เขาได้สนใจปัญหาที่น่าสนใจ และศึกษาความเป็นไปทางธรรมชาติ โดยตั้งโจทย์ปัญหาที่สมมติว่า มีกระต่ายที่เกิดใหม่หนึ่งคู่ ตัวหนึ่งตัวผู้ อีกตัวหนึ่งตัวเมีย โดยนำมาเลี้ยงไว้ในสนามที่มีรั้วล้อมรอบ กระต่ายสามารถผสมพันธุ์และขยายพันธุ์หลังจากที่มีอายุได้หนึ่งเดือน เมื่อสิ้นเดือนที่สอง กระต่ายตัวเมียให้ลูกออกมาหนึ่งคู่

สมมุติว่ากระต่ายที่เลี้ยงไม่มีการตาย และกระต่ายตัวเมียจะให้ลูกหนึ่งคู่ทุก ๆ เดือน โดยที่ตัวหนึ่งเป็นตัวผู้อีกตัวหนึ่งเป็นตัวเมีย   
  คำถามมีอยู่ว่า จะมีกระต่ายอยู่เท่าไรเมื่อสิ้นปี

(1) เมื่อสิ้นเดือนที่ 1 ยังคงมีกระต่าย 1 คู่
(2) เมื่อสิ้นเดือนที่ 2 มีกระต่าย 2 คู่
(3) เมื่อสิ้นเดือนที่ 3 มีกระต่าย 3 คู่
(4) เมื่อสิ้นเดือนที่ 4 มีกระต่าย 5 คู่

ตัวเลขจำนวนคู่ของกระต่ายแต่ละเดือนเป็นดังนี้

1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34

คราวนี้ลองดูว่าสิ้นปีจะมีจำนวนเท่าไร 
อนุกรมตัวเลขนี้เรียกว่า อนุกรมฟิโบนักชี ซึ่งมาจากการสังเกตการเลี้ยงกระต่าย
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987……. 
 

การเลี้ยงกระต่ายดูจะขัดกับความรู้สึกและไม่สมจริง เพราะกระต่ายที่เกิดมาหนึ่งคู่ เป็นตัวผู้หนึ่งตัวและตัวเมียหนึ่งตัว และต้องขยายพันธุ์ต่อ ซึ่งในทางพันธุกรรมแล้วถือว่าไม่เป็นไปตามการข้ามสายพันธุ์

แต่อนุกรมฟิโบนักชีก็สามารถแสดงในโลกธรรมชาติที่ใกล้ความจริงได้หลายอย่าง เช่น การเลี้ยงวัว หรือ สายพันธุ์ของผึ้ง

อนุกรมฟิโบนักชี 

อนุกรมฟิโบนักชีเริ่มจากการนำตัวเลขที่อยู่ข้างหน้าสองตัวหารกัน เป็นผลลัพธ์ของตัวเลข และเป็นเช่นนี้เรื่อยไป

 0  1  
0 + 1  =  1  เริ่มจากตัวเลข 0, 1 
1 + 1  =  2  ค่าตัวเลขเกิดจากผลบวก 
1 + 2  =  3 
……………
เราจะได้ตัวเลขเป็น 
n =  0  1  2  3  4  5  6 
f(n) =  0  1  1  2  3  5  8 ………….. 
หรืออาจเขียนเป็นฟังก์ชัน f(n) ซึ่งมีค่าเป็นจำนวนคู่ของกระต่ายที่เดือนที่ n

โดยเราเริ่ม  f(1) = 1 
ระหว่างเดือนที่ 2  f(2) = 1 
และเราได้  f(n) = f(n-1) + f(n-2) กรณีที่ n > 2 

ผึ้งกับตัวเลขฟีโบนักชี 

เพื่อให้เข้าใจธรรมชาติของผึ้ง จึงควรมาศึกษาชีวิตของผึ้งกันก่อน ผึ้งเป็นสัตว์สังคม อาศัยอยู่เป็นรัง และมีการดำรงชีวิตอย่างน่าศึกษา เพราะสังคมของผึ้งเป็นสังคมโดยธรรมชาติ

ภายในอาณาจักรผึ้ง คือ รังผึ้งหนึ่งรัง จะมีผึ้งเพศเมียตัวพิเศษหนึ่งตัว เรียกว่า นางพญา (Queen)
 

ในรังผึ้งมีประชากรผึ้งเป็นจำนวนมาก ทำหน้าที่เป็นผึ้งงาน (worker) ผึ้งงานก็มีเพศเมียเหมือนกับนางพญา แต่เป็นหมัน ไม่สามารถออกไข่หรือขยายพันธุ์ได้

ยังมีผึ้งเพศผู้ที่เรียกว่า โดรน (dron) ซึ่งอาจมีหลายตัว แต่เป็นผึ้งที่ไม่ทำงาน ผึ้งเพศผู้เป็นผึ้งที่มีลักษณะแปลก คือเป็นผึ้งที่นางพญาสร้างขึ้นจากไข่ที่ไม่สมบูรณ์ คือไม่มีการผสมแบบสมบูรณ์ ดังนั้ง ผึ้งโดรนจึงเป็นผึ้งที่มีแต่แม่ไม่มีพ่อ

ดังนั้น ผึ้งเพศเมียทุกตัวจึงเป็นผึ้งที่มีทั้งพ่อและแม่ และผึ้งเพศเมียจะเป็นผึ้งงาน และเป็นหมันไม่ขยายพันธุ์ต่อ แต่ถ้าเมื่อใดก็ตามที่ต้องการขยายพันธุ์แตกรังออก จะมีการสร้างผึ้งที่จะมาเป็นนางพญาเพื่อแยกรัง โดยการป้อนอาหารพิเศษที่เรียกว่า โรยัลเจลลี่ (royal jelly) เมื่อเติบโตพร้อมเป็นนางพญาก็จะแยกรังออกไป

คราวนี้ลองมาดูการลำดับเครือญาติ โดยเริ่มจากโดรนหนึ่งตัว     
1. เขามีพ่อ ซึ่งเป็นเพศเมีย
2. เขามีย่า กับยาย และตา (ไม่มีปู่)
3. เมื่อลำดับต่อไป จะเขียนเป็นไดอะแกรม  นางพญามีทั้งพ่อและแม่  ผึ้งเพศผู้มีแต่แม่ 

ตัวเลขทองคำ (Golden Number) 

ตัวเลขลำดับฟิโบนักชี(สร้างโดยใช้รูปภาพสี่เหลี่ยมฟิโบนักชี) เป็นที่รู้จักกันดี และเป็นตัวเลขที่ธรรมชาติสร้างขึ้น ดังนั้น สัดส่วนตัวเลขระหว่างสองตัวเลขที่ติดกันจึงเป็นสัดส่วนทางธรรมชาติ และเราจะเห็นว่า สัดส่วนตัวเลขนี้มีความน่าสนใจไม่น้อย

ลำดับฟิโบนักชี 1 1 2 3 5 8 13 21

ถ้าจัดตัวเลขสองตัวชิดกันหารกัน จะได้อัตราส่วน           1/1  = 1         2/1  = 2 
        3/2  = 1.5   5/3  = 1.666…… 
        8/5  = 1.6   13/8  = 1.625 
        21/13  = 1.61538  …………… 

  และถ้าเราเขียนกราฟอัตราส่วนนี้ จะได้รูปกราฟที่เข้าใกล้ 1.6

ค่าตัวเลขที่ได้เมื่อให้จำนวนฟิโบนักชีมีค่ามากขึ้น ค่าจะได้ประมาณ 1.61804 เราเรียกตัวเลขนี้ว่า ตัวเลขทองคำ (Golden Number)

กาลเวลาสัมพันธ์กับธรรมชาติ

            คณิตศาสตร์ของกาลเวลาอาศัยปรากฏการณ์ทางธรรมชาติ เป็นมาตรฐานของหน่วยนับที่เกี่ยวข้องกับชีวิตประจำวัน  วิถีชีวิตในแต่ละวันเริ่มจากเช้า สาย บ่าย ค่ำ ตกกลางคืนและวนเวียนกลับมาใหม่

            มาตรฐานของวัน หากจะบอกว่าระยะเวลาหนึ่งวันยาวนานเท่าไร  เราจะพบว่าธรรมชาติได้สร้างให้มีกลางวัน กลางคืน ถ้าเรานับช่วงเวลาที่พระอาทิตย์เพิ่งเริ่มขึ้นจากขอบฟ้า จนพระอาทิตย์ตก และเริ่มกลับมาขึ้นใหม่เป็นหนึ่งวัน เราจะพบว่า เวลาแต่ละวันจะไม่เท่ากัน และช่วงเวลาพระอาทิตย์ขึ้นในแต่ละท้องที่ก็ไม่เท่ากัน แต่เรารู้ว่าโลกหมุนรอบตัวเอง 1 รอบ เป็นเวลาหนึ่งวัน

            ดังนั้นเราจึงเอาระยะเวลาที่โลกหมุนรอบตัวเองหนึ่งรอบเป็นระยะเวลาหนึ่งวัน ซึ่งจะได้เป็นมาตรฐานกลาง ระบบเวลาแบ่งย่อยให้เป็น 24 ส่วนและเรียกว่า 1 ชั่วโมง

            ความจริงแล้วโลกหมุนรอบตัวเองหนึ่งรอบใช้เวลาไม่ถึง 24 ชั่วโมง แต่ใช้เวลาประมาณ 23 ชั่วโมง 56 นาที 4 วินาที ทำไมจึงเป็นเช่นนั้น

            การแบ่งหน่วยเวลาในระบบสุริยคติ ใช้หลักการที่ให้โลกหมุนรอบตัวเองและสัมพัทธ์กับการเคลื่อนที่ของโลกหมุมรอบดวงอาทิตย์ด้วย  ซึ่งโลกหมุนรอบดวงอาทิตย์หนึ่งรอบเรียกว่า หนึ่งปี

            โลกโคจรรอบดวงอาทิตย์ระยะเวลาหนึ่งวันเดินทางได้ประมาณ 1 องศา และถ้าเราสังเกตดวงอาทิตย์เคลื่อนที่บนฟากฟ้า 1 องศา จะใช้เวลาประมาณ 4 นาที  ดังนั้นเพื่อให้เกิดความสัมพัทธ์เชื่อมโยงกับการมองเห็นครบหนึ่งรอบพอดี จึงใช้ 1 วัน มี 24 ชั่วโมง

            จากมาตรฐานที่ชาวบาบิโลเนียใช้แบ่งให้วันหนึ่งมี 24 ชั่วโมง และหนึ่งชั่วโมงมีหกสิบนาที และแต่ละนาทีแบ่งออกเป็นหกสิบวินาที  ความเกี่ยวโยงในเรื่องเวลากับธรรมชาติ โดยเฉพาะการอ้างอิงกับดวงอาทิตย์ โดยผู้สังเกตอยู่บนพื้นโลก หรือกล่าวได้ว่า ระยะเวลาของรอบวันได้กำหนดไว้ตามการเคลื่อนที่ของโลกที่หมุนรอบตัวเอง และโคจรรอบดวงอาทิตย์

ราศี

	ราศีมังกร (CAPRICORNUS)	22 ธค – 19 มค			ราศีกุมภ์ (AQUARIUS)	20 มค – 18 กพ
	ราศีมีน (PISCES )	19 กพ – 20 มีค			ราศีเมษ (ARIES )	21 มีค – 19 เมย
	ราศีพฤษภ (TAURUS)	20 เมย – 20 พค			ราศีมิถุน (GEMINI)	21 พค – 21 มิย
	ราศีกรกฎ (CANCER)	22 มิย – 22 กค			ราศีสิงห์ (LEO)	23 กค – 22 สค
	ราศีกันย์ (VIRGO)	23 สค – 22 กย			ราศีตุล (LIBRA)	23 กย – 22 ตค
	ราศีพิจิก (SCORPIO)	23 ตค – 22 พย			ราศีธนู (SAGITARIUS)	23 พย – 21 ธค

ปฏิทินสากล

            ปฏิทินสากลยึดหลักการตามหลักของระบบสุริยะเพื่อให้ฤดูกาลคงที่  การสร้างปฏิทินสากลที่เป็นมาตรฐานนี้ใช้หลักการของปฏิทินที่เรียกว่ากรีกอเรียน (Gregorian)  และนำมาใช้กันในการนับวันสำคัญทางศาสนาคริสต์

            หลักการของปฏิทินสากลได้กำหนดให้หนึ่งปีมี 12 เดือน และมีจำนวนวันเท่ากับ 365 วัน ยกเว้นบางปีเป็นปีอธิกสุรทิน (leap year)  จึงให้ปีนั้นมี 366 วัน โดยเพิ่มวันที่ 29 กุมภาพันธ์อีกหนึ่งวัน

            การแบ่งเดือนตามหลักการของปฏิทินกรีกอเรียนและกำหนดให้วันที่ 1 มกราคมเป็นวันขึ้นปีใหม่
http://baifernza.wordpress.com/%E0%B8%84%E0%B8%93%E0%B8%B4%E0%B8%95%E0%B8%A8%E0%B8%B2%E0%B8%AA%E0%B8%95%E0%B8%A3%E0%B9%8C%E0%B8%81%E0%B8%B1%E0%B8%9A%E0%B8%9B%E0%B8%A3%E0%B8%B2%E0%B8%81%E0%B8%8F%E0%B8%81%E0%B8%B2%E0%B8%A3%E0%B8%93/05/09/2556